Trong tam giác, mặt đường phân giác của một góc phân tách cạnh đối diện thành nhì đoạn thẳng tỉ lệ cùng với nhì cạnh kề nhị đoạn ấy.

Bạn đang xem: Bài 3: tính chất đường phân giác của tam giác

GT

(Delta ABC)

(AD)là tia phân giác góc(widehatBAC)((Din BC))

KL(dfracDBDC=dfracABAC)

Chứng minh định lí:

*

Qua(B)kẻ đường trực tiếp song tuy nhiên với(AC)giảm con đường thẳng(AD)tại(E).

Ta có:(widehatBAE=widehatCAE)(do(AD)là tia phân giác góc(widehatBAC))

Mặt khác: Do(BE)//(AC)(RightarrowwidehatBEA=widehatCAE)(nhị góc so le trong)

Suy ra(widehatBAE=widehatBEA)(RightarrowDelta BAE)cân tại(B)

(Rightarrow BA=BE) (1)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét so với tam giác(DAC), ta có:(dfracDBDC=dfracBEAC) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra(dfracDBDC=dfracABAC).


58841

ví dụ như 1: Xét tam giác(ABC)có(AB=3cm),(AC=6cm).Tia phân giác của góc(A)cắt cạnh(BC)tại(D). Tính tỉ số(dfracDBDC):

Giải:

*

Áp dụng đặc thù đường phân giác vào tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

Lại có:(AB=3cm),(AC=6cm)(Rightarrow)(dfracABAC=dfrac36=dfrac12)

Suy ra(dfracDBDC=dfrac12).

lấy một ví dụ 2: Cho tam giác(ABC)có(AB=4,5cm),(AC=6cm).(AD)là tia phân giác góc(A). Giả sử(BD=xleft(cm ight)),(CD=yleft(cm ight)). Tính tỉ số(dfracxy)?

Giải:

*

Áp dụng tính chất đườngphân giác vào tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

(Rightarrowdfracxy=dfrac4,56=dfrac34).

Vậy(dfracxy=dfrac34).

lấy ví dụ như 3: Cho tam giác(ABC)có(AB=6cm),(AC=8cm),(BC=10cm).(AD)là tia phân giác góc(A). Giả sử(BD=xleft(cm ight)),(CD=yleft(cm ight)). Tính(x^2+y^2)?

Giải:

*

Áp dụng đặc thù đườngphân giác trong tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

(Rightarrow)(dfracxy=dfrac68=dfrac34)

Khi kia ta có:(left{eginmatrixdfracxy=dfrac34\x+y=10endmatrix ight.)(Rightarrow)(left{eginmatrixx=dfrac103+4.3=dfrac307\y=dfrac103+4.4=dfrac407endmatrix ight.)

Suy ra(x^2+y^2=left(dfrac307 ight)^2+left(dfrac407 ight)^2=dfrac250049).


58842

lấy một ví dụ 4: Cho tam giác(ABC)tất cả trung tuyến(AM).Gọi(AD),(AE)theo thứ tự là phân giácgóc(widehatAMB)và(widehatAMC)((Din AB,Ein AC)). Chứng minh rằng:(DE)//(BC)?

Giải:

*

Do(AM)là trung tuyến của(Delta ABC)(Rightarrow)(M)là trung điểm(BC)(Rightarrow BM=CM)

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác(AMB)ta có:(dfracADDB=dfracAMBM)

Áp dụng đặc điểm mặt đường phân giác trong tam giác(AMC)ta có:(dfracAEEC=dfracAMCM)

Do(BM=CM)nên(dfracAMBM=dfracAMCM)hay(dfracADDB=dfracAEEC).

Áp dụng hệ trái của định lí Ta-lét đối với(Delta ABC)ta suy ra(DE)//(BC).

lấy một ví dụ 5: Cho(Delta ABC)cân tại(A)có(AB=AC=5cm),(BC=8cm).(I)là giao điểm các đường phân giác vào tam giác. Tính(BI?)

Giải:

*

Do(Delta ABC)cân tại(A)phải phân giác(AH)mặt khác là đường cao vàtrung con đường của tam giác.

Suy ra(AHperp BC)và(HB=HC=dfrac12BC=dfrac12.8=4left(cm ight)).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông(HAB)ta có:(AH^2+HB^2=AB^2)

(Rightarrow AH=sqrtAB^2-HB^2=sqrt5^2-4^2=3)(cm)

Áp dụng đặc điểm phân giác trong tam giác(HAB)ta có:(dfracIAIH=dfracABBH)

(Rightarrow)(dfracIAAB=dfracIHBH)

Áp dụng đặc điểm hàng tỉ số cân nhau ta có:

(dfracIAAB=dfracIHBH=dfracIA+IHAB+BH=dfracAHAB+BH=dfrac35+4=dfrac13)

(RightarrowdfracIHBH=dfrac13Rightarrow IH=dfrac13.BH=dfrac13.4=dfrac43)(cm)

Xét(Delta BHI)vuông tại(H). Áp dụng định lí Pytago ta có:(BH^2+IH^2=BI^2)

(Rightarrow BI=sqrtBH^2+IH^2=sqrt4^2+left(dfrac43 ight)^2=dfrac4sqrt103)(cm)

Vậy(BI=dfrac4sqrt103left(cm ight)).

Chụ ý: Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc bên cạnh của tam giác.

Ví dụ: Xét tam giác(ABC)có(AD")là tia phân giác của góc không tính góc(BAC)((D"in BC))

Lúc đó ta cũng có:(dfracD"BD"C=dfracABAC).

Xem thêm: Cách Hack Nick Liên Quân - Hack Acc Liên Quân 2021 ❤️️ Hot

*

Ta rất có thể kẻ (BE")//(AC)cùng chứng minh tựa như nlỗi ngôi trường vừa lòng tia phân giác trong của tam giác.